Держу в руках интересную книгу Мартина Гарднера "Путешествие во времени" и не могу ни радоваться тому, что каким-то чудом такая хорошая вещь завалялась на чердаке дачного домика. Автору легко удается простым языком показывать всю прелесть комбинаторики простому человеку. У него, как я выяснил, есть много книг на подобную тематику и все, естественно, я распечатаю себе и сделаю переплёты, но сейчас не об этом. Хочу поделиться парой глав из этой книги с форумом.
Самопорожденные числа. Д. Капрекар - индийский математик. Он мал ростом, но велик разумом и сердцем. Более сорока лет он занимается замечательными исследованиями по занимательной теории чисел, время от времени получая стипендии от различных индийских университетов. Капрекар часто печатает свои работы в индийских математических журналах, выступает на конференциях и опубликовал более двух десятков книг на ломаном английском (все они невелики по объему).
За пределами Индии Капрекар более всего известен как автор открытия, совершенного более двадцати лет назад. Я имею в виду открытую им "постоянную Капрекара". Выберите любое четырехзначное число, в котором не все числа одинаковые. Расположите цифры сначала в порядке убывания, затем, переставив их в обратном порядке, образуйте новое число и вычтите его из старого. Повторяя тот же процесс с разностями (не более чем 6 шагов), вы придете к постоянной Капрекара 6174, которая будет затем воспроизводить себя. Производя перестановки цифр и вычитания, нули следует сохранять. Например, начав с числа 2111 и вычитая из него 1112, вы получите число 0999. На следующем шаге перестановка цифр даст число 9990, из которого вы вычтите 0999, и т. д.
Нас сейчас будет интересовать один замечательный класс чисел, открытый Капрекаром в 1949г. и названный им самопорожденными числами. Им посвящено несколько книг Капрекара. За пределами Индии о самопорожденных числах ничего не известно, хотя в 1974г. о них (под другим названием) появилась статья в журнале "The American Mathematical Monthly". В статье доказывалось, что существует бесконечное множество самопорожденных чисел.
Что же такое самопорожденные числа? Чтобы ответить на этот вопрос, лучше всего начать с основной процедуры, которую Капрекар называет цифросложением. Выберем любое целое число и прибавим к нему сумму его цифр. Например, если мы выберем число 47, то его сумма цифр 4+7=11 и 47+11=58. Новое число 58 называется порожденным числом, а исходное 47 - его генератором. Процесс можно повторять неограниченно, образуя порождаемую цифросложением последовательность 47, 58, 71, 95...
Найти нерекуррентную формулу для частичной суммы членов этой последовательности, которая бы задавала частичную сумму в зависимости от ее первого и последнего члена, не удалось никому, но существует простая формула для суммы всех чисел в последовательности, порождаемой цифросложением. Нужно просто вычесть первое число из последнего и прибавить сумму цифр последнего числа. "Разве это не удивительный результат? - спрашивает Капрекар в одной из своих книжек. - Доказательство этого правила очень просто, и я полностью записал его для себя. Но стоит увидеть доказательство, как теряется прелесть всей процедуры, поэтому я решил не приводить его здесь".
Может ли порожденное число иметь более одного генератора? Да, но лишь в том случае, если оно превышает 100. Наименьшее число, имеющее более одного генератора (Капрекар называет такие числа соединениями), равно 101. У него два генератора: 91 и 100. Наименьшее число - соединение с тремя генераторами равно 10 000 000 000 001. Оно порождаемо числами 10 000 000 000 000, 9 999 999 999 901 и 9 999 999 999 892. Наименьшее число с четырьмя генераторами, открытое Капрекаром 7 июня 1961 г., имеет 25 знаков: единица, после которой следует 21 нуль и число 102. С тех пор Капрекару удалось открыть, как он предполагает, наименьшие числа - соединения с 5 и 6 генераторами.
Самопорожденное число - это просто число, у которого нет генератора. По словам Капрекара, " оно порождает само себя". Существует бесконечно много самопорожденных чисел, но встречаются они гораздо реже, чем порожденные числа. В пределах первой сотни имеется всего 13 самопорожденных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 и 97. Простые самопорожденные числа называются самопростыми. Хорошо известно "циклическое" число 142857 (при умножении его на числа от 1 до 6 всегда получается произведение, записанное теми же 6 цифрами, только переставленными в циклическом порядке) принадлежит к числу самопорожденных чисел. Самопорожденными являются и такие числа, как 11 111 111 111 111 111 111 и 3 333 333 333. В этом столетии самопорожденными были 1906, 1917, 1919, 1930, 1941, 1952, 1963 и 1974 годы. Рассмотрим теперь степени числа 10. Число 10 порождено числом 5, число 100 - числом 86, 1000 - числом 977, 10 000 - числом 9968 и 100 000 числом 99 959. Почему миллионер столь заметная фигура в обществе? Потому, отвечает Капрекар, что 1 000 000 0 самопорожденное число. Следующая за миллионом степерь десятки, которая является самопорожденным числом, - это 10^16.
Никто пока не открыл нерекуррентную формулу, позволяющую получать все самопорожденные числа, но у Капрекара есть простой алгоритм, позволяющий проверить любое число на самопорожденность ( то есть установить, является ли данное число самопорожденным или нет). Попробуйте самостоятельно придумать такой алгоритм. Если вам это удастся, то для вас не составит особого труда определить, какой год после 1974 будет ближайшим самопорожденным числом.
Магические квадраты и кубы.
В дни моей юности я в свободное время (которое, как мне кажется, можно было бы употребить с боьшей пользой) развлекался тем, что составлял ... магические квадраты Бенджамин Франклин
В изучении магических квадратов и кубов произошло два важных события: были вычеслены все магические квадраты порядка 5 и построены совершенные магические кубы. Я счастлив, что первым опубликовал оба результата. Для того, чтобы по достоинству изучить масштаб этих двух достижений, совершим краткий экскурс в историю магических квадратов.
Хотя некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученые ими результаты оказали влияние на развитие теории групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики, с наибольшим энтузиазмом построением магических квадратов занимались любители.. Знаменитому квадрату Франклина (хитроумной матрице 16x16), который Бенджамин Франклин назвал "самым магическим из всех магических квадратов, когда-либо составленным магом", посвящено множество статей и монографий. Литература по магическим квадратам вообще обширна, но большая часть работ написана непрофессионалами, которым посчастливилось обнаружить изящную симметрию взаимосвязанных числовых узоров, образующих магический квадрат.
Вряд ли кому-нибудь из читателей необходимо напоминать о том, что сандартный магический квадрат представляет собой квадратную матрицу положительных целых чисел от 1 до N^2, расположенных в таком порядке, при котором сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой диагонали равна одному и тому же числу, называемому постоянной магического квадрата или просто магической постоянной квадрата. Нетрудно видеть, что магическая постоянная равна сумме всех чисел, деленнойна N, или
(1+ 2 + 3 + ... + N^2)/N = (1/2)(N^3 + N).
Тривиальный квадрат порядка 1 есть протсо число 1. Разумеется, такой квадрат единственный. Точно так же легко доказать, что магический квадрат порядка 2 не существует.
Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами. Однако по традиции зеркально симметричные магические квадраты и квадраты, переходящие друг в друга при поворотах, не считаются различными. Если учесть это замечание, то останется единственный магический квадрат порядка 3. Чтобы оценить красоту этой жемчужины - самого древнего из всех экспонатов комбинаторной кунсткамеры, рассмотрим все способы, которыми его магическую постоянную можно разложить в сумму трех различных положительных целых чисел. Таких расположений существует ровно 8:
9+5+1,
9+4+2,
8+6+1,
8+5+2,
8+4+3,
7+6+2,
7+5+3,
6+5+4.
В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны суммы трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит к 1 строке, 1 столбцу и 2 диагонялам, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.
Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой-то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому впишем девятку над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Каждое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять-таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.
Заполненный магический квадрат 3х3 в форме, представленной на рисунке:
492
357
816
был известен еще древним китайцам под нозванием Ло Шу. По преданию, он впервые появился на панцире священной черепахи, выползшей на берег из реки Ло в ХХIII в. до н.э., но современные китаеведы прослеживают Ло Шу лишь до IV в. до н.э. С того времени и вплоть до Х в. этот магический квадрат был мистическим символом огромного значения. Четные числа древние китайцы отождествляли с "инь" - женским началом, нечетные с "ян" - мужским. Пятерка в центральной клетке по их представлениям соответствовала земле, вокруг которой в строгом равновесии между инь и ян размещались 4 других элемента: числа 4 и 9 символизировали металл, 2 и 7 - огонь, 1 и 6 - воду, 3 и 8 - дерево.
Существует 880 магических квадратов порядка 4 (квадраты, переходящие друг в друга при поворотах и отражениях, различными не считаются). Впервые они были перечислены Бернаром де Бесси в 1693 г. Существует множество классификаций магических квадратов порядка 4, основанных на различных принципах. Одна из лучших классификаций была предложена Гэнри Э. Дьюдени, изложившим свою систему в превосходной статье о магических квадратах в первых заводах 14-го издания "Британской энциклопедии". В последующих заводах статья Дьюдени была заменена замечательной исторической статьей Ш. Каммана. В последнем (пятнадцатом) издании помещена малосодержательная микростатья о магических квадратах.
Сколько существует магических квадратов порядка 5? Наилучшая оценка была получена в 1938 г. А. Канди. По подсчетам Канди, общее число магических квадратов порядка 5 достигает 13 288 952. Точное число не было известно до 1973г., когда полный перебор магических квадратов был осуществен компьютерной программой, разработанной Р. Шрёппелем, математиком и программистом из "Information International". Программа использует стандартную процедуру обратного считывания и состоит примерно из 3500 "слов". Прогон ее на компьюетере PDP-10 занимает около 100 ч машинного времени. Окончательное сообщение, написанное М. Билером, появилось в октябре 1975г.
Оказалось, что оценка Канди существенно занижена. С точностью до поворотов и отражений существует 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Шрёппель предпочитает делить это число на 4 и считает, что существует 68 826 306 магических квадратов порядка 5. Дело в том, что помимо 8 вариантов каждого квадрата, получаемых с помощью поворотов и отражений, существует ещё 2 варианта, прождаемых следующими 2 преобразованиями, которые сохраняют магичность:
1) Перестановка первого и пятого столбцов с последующей перестановкой верхней и нижней строк;
2) Перестановка 1-й и 2-й строк и 4-й и 5-й строк с последующей перестановкой 1-го и 2-го столбцов и 4-го и 5-го столбцов.
Эти 2 преобразования в сочетании с 2 отражениями и 4 вращениями порождают 2х4х2х2=32 варианта (или 32 формы) квадрата, которые можно назвать изоморфными. При таком определении изоморфизма общее число магических квадратов становится равным 68 826 306.
Это число можно ещё сильнее уменьшить, если рассмотреть еще одно хорошо известное преобразование. Если каждое число в магическом квадрате вычесть из N^2 + 1 (в случае квадратов порядка 5 - из 26), то получится квадрат, который называется дополнением к исходному. Он также магический. Если в центральной клетке квадрата 5 стоит число 13, то дополнение изоморфно исходному квадрату. Если в центральной клетке стоит число, отличное от 13, то в результате перехода к числу операций, не нарушающих изоморфизм, операцию взятия дополнения, то общее число различных магических квадратов порядка 5 понизится примерно до 35млн.
Задача о построении классификации магических квадратов порядка 5 сколько-нибудь осмысленными способами своей грандиозностью потрясает воображение. Дьюдени как-то писал, что некоторые способы разбиения магических квадратов на классы представляются ему столь же полезными, как разбиение людей на тех, кто нюхает табак, и тех, кто табак не нюхает. Тем не менее некоторые попытки построения классификаций приводят к неожиданным результатам. Вот, например, сколько существует магических квадратов порядка 5, в центральные клетки которых вписаны числа от 1 до 13:
1 - 1 091 448,
2 - 1 366 179,
3 - 1 914 984,
4 - 1 958 837,
5 - 2 431 806,
6 - 2 600 879,
7 - 3 016 881,
8 - 3 112 161,
9 - 3 472 540,
10-3 344 034(!),
11-3 933 818,
12-3 784 618(!),
13-4 769 936.
Заметим, что когда числа в центральной клетке возрастают от 1 до 8, количество магических квадратов каждого типа монотонно возрастает, но затем происходят два сбоя для 9 и 10 и для 11 и 12. Магических квадратов с числом 11 в центральной ячейке существует больше, чем квадратов с числом 12 в центральной клетке. Точно так же магических квадратов с числом 9 в центральной клетке больше, чем магических квадратов с числом 10. Оба сбоя вызвали большое удивление. Разумеется, те же аномалии встречаются и при подсчете количеств квадратов, у которых в центральной клетке стоят числа от 14 до 25, так как у каждого квадрата порядка 5, кроме квадрата, у которого в цетральной клетке стоит число13, существует дополнение: квадратов с 1 в центральной клетке стоит столько же, сколько их с числом 25 в центральной клетке, и аналогичное утверждение справедливо для любого числа в центральной клетке, кроме числа 13.
На следующем рисунке изображен магический квадрат порядка 5 типа, который можно считать более магическим, чем любой другой квадрат:
1 15 24 8 17
23 7 16 5 14
20 4 13 22 6
12 21 10 19 3
9 18 2 11 25
Этот квадрат ассоциативен: любые два числа, симметричные относительно центра, в сумме дают N^2 +1. Кроме того, он пандиоганален (иногда его называют "насик" или "дьявольский магический квадрат"). Это означает, что суммы элементов, стоящих в вершинах ломаных диагоналей, постоянны (и равны 65). Иначе говоря, если замостить всю плоскость этим магическим квадратом, то очертив в любом месте квадрат размером 5 на 5 клеток, мы непременно получим магический квадрат, хотя и не обязательно ассоциативный. Для того, чтобы квадрат был ассоциативным, в его центральной клетке должно стоять число 13:
1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17
23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14
20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6
12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3
9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25
1 15 24 8 17 1 15 24 8 17 1 15 24 8 17
23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14
20 4 13 22 6 20 4 13 22 6 20 4 13 22 6
12 21 10 19 3 12 21 10 19 3 12 21 10 19 3
9 18 2 11 25 9 18 2 11 25 9 18 2 11 25
Квадрат Ло Шу ассоциативен, но не пандиоганален. Магический квадрат порядка 4 может быть либо пандиоганальным, либо ассоциативным, но не может быть пандиоганальным и ассоциативным одновременно. Магические квадраты порядка 5 - наименьшие из квадратов, обладающих двумя свойствами одновременно. С точностью до поворотов и отражений 3600(!) квадратов порядка 5 пандиоганальны, а если исключить варианты, получающиеся при циклических перестановках строк и столбцов, то 144(!) квадрата пандиоганальны. Иначе говоря, существуют 144 бесконечные мозаики из магических квадратов порядка 5 такого типа, как на рисунке. Каждая из таких мозаик содержит 25 пандиоганальных квадратов порядка 5. Из 144 мозаик только 16 содержат квадрат, который не только пандиоганален, но и ассоциативен. Все это, кстати сказать, было известно до того, как Шрёппель составил свою компьютерную программу.
Из 16 ассоциативных пандиоганальных квадратов порядка 5 у четырех 1 стоит в первой клетке, у четырех - в третьей, у четырех - в седьмой и у четырех - в восьмой. Средневековых мусульманских мастеров особенно интересовали пандиоганальные квадраты с 1 в центральной клетке. Разумеется, такие квадраты не были ассоциативными, но мусульмане считали 1 в центральной клетке символом единства Аллаха. Они испытывали перед этим символом столь сильный благоговейный трепет, что нередко оставляли кетку, предназначеную для 1, пустой.
Понятие магического квадрата допускает естественное обобщение на случай 3 и большего числа измерений. Совершенным магическим кубом называется кубическая матрица из целых положительных чисел от 1 до N^3, такая, что сумма чисел в любых N клетках, выстроенных в ряд, постоянна. Такой ряд может быть параллелен одному из ребер сечения матрицы, параллельного "граням", или четырем пространственным диагоналям. Магическая постоянная кубической матрицы равна (1+2+3+...+N^3)/N^2 = (1/2)(N^4 + N).
Ясно, что существует единственный совершенный куб порядка 1 и что не существует ни одного совершенного куба порядка 2. Существуют ли магические кубы порядка 3? К сожалению, тройка чуть-чуть, "не дотягивает" до допустимого порядка. Я не знаю, кто первым доказал, что магические кубы порядка 3 не существуют, но Ричарду Л. Мейрсу удалось найти очень простое доказательство этого утверждения. Рассмотрим любое сечение куба 3х3. Пусть A, B, C - числа, стоящие в его верхней строке, D, E, F - числа, стоящие в его нижней строке, и Х - число в центральной клетке. Так как числа, стоящие на диагоналях и в центральном столбце, должны в сумме давать 3 (42), мы можем записать равенство:
3Х+A+B+C+D+E+F=3*42.
Вычитая из него A+B+C+D+E+F=2*42, получаем 3Х=42, или X=14. Так как число 14 не может стоять в центре любого сечения, параллельного граням куба, такой куб не может существовать.
Разочарованные несуществованием совершенных кубов порядка 3 любители магических кубов решили ослабить требования и определить разновидность полусовершенных кубов, которые, по-видимому, существуют во всех порядках больше 2. Так называются кубы, в которых магическими являются только прямые, параллельные ребрам куба, и 4 пространственные диагонали. Назовем их кубами Эндрюса в честь У. Эндрюса, посвятившего им две главы в своей пионерской работе "Магические квадраты и кубы" (1917). Куб Эндрюса порядка 3 должен быть ассоциативным с числом 14 в центральной клетке. Таких кубов ( с точностью до поворотов и отражений) существует всего 4. Все они приведены в книге Эндрюса, хотя он не сознавал, что ими исчерпываются все основные типы.
Не существует ни одного совершенного куба порядка 4. Насколько мне известно, первое доказательство этого утверждения было опубликовано Шрёппелем в "Меморандуме по искуственному интеллекту №239". Первый шаг в доказательстве сводится к следующей лемме: в любом (параллельном граням или диагональном) сечении 4х4 сумма чисел, стоящих в углах, должна быть постоянной. Пусть Q - величина этой постоянной. Обозначим 16 клеток другими буквами:
ABCD
EFGH
I J KL
MNOP
Тонкими линиями (4 по периметру и 2 по диагонали) указаны 6 четверок чисел, которые охватывают все 16 клеток. Так как каждая угловая клетка принадлежит одновременно трем прямолинейным отрезкам (строке, столбцу и диагонали), сумма 3A+3D+3M+3P плюс каждая из остальных клеток, взятая по одному разу, должна быть равна 6Q. Вычитая из этой величины суммы элементов четырех строк, мы получаем 2A+2D+2M+2P=2Q, что в свою очередь сводится к равенству A+D+M+P=Q. Тем самым наша первая лемма доказана.
Рассмотрим теперь 8 углов. Докажем, что для любых двух вершин, соединенным ребром, сумма чисел, стоящих в угловых клетках, равна Q/2. Обозначим две вершины, соединенные ребром, через А и В. Пусть C, D и E, F - вершины, соединенные двумя ребрами, параллельными АВ. Тогда числа, стоящие в клетках ABCD, EFBA, EFDC, расположены в угловых клетках сечений 4х4, поэтому их сумма равна 3Q. Соберем подобные члены:
2A+2B+2C+2D+2E+2F=3Q
и разделим обе части полученного равенства на 2:
A+B+C+D+E+F=Q/2.
Вычитая из этого равенства C+D+E+F=Q, получаем A+B=Q/2. Тем самым наша вторая лемма доказана.
Рассмотрим теперь вершину В. Она соединена ребрами с вершинами A, D, F. Так как A+B=F+B=D+B, мы можем вычесть по В из каждой части каждого равенства и доказать, что A=F=D. Поскольку последнее равенство невозможно, наше доказательство на этом завершается.
Существует ли совершенный магический куб порядка 5? Ни один куб порядка 5 пока не известен. Шрёппель положил начало исследованиям кубов порядка 5, доказав (с помощью алгебраических и комбинаторных соображений), что если такой куб существует, то в его центральной клетке должно стоять число 63.
Существуют совершенные магические кубы порядка 8. Метод, позволяющий строить их миллионами, был открыт весной 1970г. Майерсом, тогда ещё 16летним школьником из Джонсвилла (шт. Пенсильвания). Майерс прислал мне короткую заметку о своем открытии, в которой сообщал, что свой первый куб он построил, "истратив 3 месяца, 7 теорий и 31 лист миллиметровки". Должен признаться, что поначалу я не оценил по достоинству всей значимости его притязаний. Он не прислал ни одного магического куба, и в ответном письме я рекомендовал Майерсу математический журнал, который смог бы воздать должное его работе.
Затем я услышал о кубах Майерса в декабре 1972г. от Дж. Стейба, математика из университета Дрекселя в Филадельфии, куда Майерс поступил на первый курс. Стейб прислал мне куб порядка 8, и хотя он всячески превозносил симметрии куба и сообщил некоторые подробности относительно того, как Майерс совершил свое открытие (используя суперпозицию трех латинских квадратов и восьмеричную систему счисления), я все же не оценил тогда важности открытия куба. Я слишком быстро просмотрел книгу Эндрюса, отмечая ссылки на магические кубы порядка 3 и больше, но упустил из виду, что эти кубы были только полусовершенными. И лишь когда мне стало ясно, что у Эндрюса речь идет о полусовершенных кубах, я принялся усердно изучать послание Стейба и полностью осознал всю значимость того, что сделал Майерс.
Сумма 8 чисел, стоящих в кубе Майерса в любом столбце или строке, параллельной любому из горизонтальных ребер куба, равна 2052. Куб Майерса ассоциативен. Сумма любых двух чисел, симметричных относительно центра, равна 513. Отсюда следует, что не только сумма чисел в углах при вершинах куба равна 2052, но и (как отметил Стейб) сумма чисел в угловых клетках при вершинах любого прямоуголного параллелепипеда с центром, совпадающим с центром куба, равна тому же числу. Если и этого не достаточно, то куб можно разрезать на 64 кубика порядка 2, и сумма восьми чисел в угловых клетках при вершинах каждого из таких кубов окажется постойнной!
Эти замечательные симметрии позволяют осуществить огромное число перемещений клеток в кубе, порождающих изоморфные варианты исходного куба. Ясно, что каждый такой вариант можно подвергать поворотам и зеркальным отражениям различными способами. Представьте себе такой куб, в котором каждая из его 512 клеток заменена таким же кубомв одном из его тысяч вариантов, или ориентаций. В клетку 1 мы поместим куб, который начинается с 1. В клетку 2 мы поместим куб, который начинается с 8^3 +1 = 513, в клетку 3 -куб, который начинается с числа (2х8^3)+1 = 1025 и т.д. В результате мы получим совершенный магический куб порядка 64. Из кубов порядка 64 мы в свою очередь строим совершенные магические кубы порядка 512. Та же процедура остаётся в силе и для кубов всех старших порядков, равных степеням числа 8.
Сколько существует магических кубов порядка 8? Выбирая для суперпозиции различные латинские квадраты, Майерс может строить миллионы отличающихся друг от друга кубов, но некоторые из них могут оказаться не ассоциативными. Число латинских квадратов порядка 8 было подсчитано (их миллиарды), но число латинских кубов неизвестно, поэтому проблемы подсчета числа даже одних лишь кубов порядка 8, порождаемых процедурой Майерса, выглядит устрашающе.
Является ли число 8 наименьшим порядком, при котором существуют совершенные магические кубы? Существуют ли магические кубы порядков, отличных от степеней 8? Оба вопроса остаются открытыми.
Дополнение.
При работе над этой главой я считал, что Р. Майерс был первым, кто построил совершенный магический куб порядка 8. Вскоре стало известно, что я заблуждался (разумеется, это не умаляет достоинств достижений Майерса).
В. Мили обратил моё вниманиена построение совершенного куба порядка 8, предложенное в конце 30-х годов Дж. Россером и Р. Уокером. Построенный ими куб пандиагонален в том смысле, что если циклически переставлять любое из 3 семейств сечений, параллельных его граням, то куб остается совершенным магическим кубом. Куб Россера и Уокера не был опубликован, но построение его изложено в рукописи, хранящейся в библиотеке Корнеллского университета. В этой рукописи авторы показывают, что совершенные пандиагональные кубы существуют при всех порядках кратных 8, и всех нечетных порядках больше 8. Кратко придложенный Россом и Уокером метод построения куба порядка 8 изложен в книге Роуза Болла.
Но и Россер и Уокер не были первыми, кто построил совершенный магический куб порядка 8. Дж. Молдон, математик из колледжа Амхерста, сообщил мне о замечательной работе Ф. Барнарда. По мнению Барнарда, первый такой куб был построен неизвестным автором, сообщившим о своем открытии в газете The Commercial от 11 марта 1875 г., выходившей в Цинциннати. Молдон прислал мне предложенный им способ построения совершенного ассоциативного магического куба порядка 7 и совершенных ассоциативных пандиагональных магических кубов порядков 9 и11.
Первый пандиагональный куб порядка 8, по-видимому, построен Ч. Планком, котрый поведал о своем методе в редкой и малоизвестной книге "Теория путевых насиков", изданной в 1908г. частным образом в английском городе Рэгби.
